Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 31
Os lados de um triângulo equilátero estão crescendo a uma taxa de cm/min. A que taxa a área do triângulo está crescento quando os lados têm cm de comprimento.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de crescimento da área de um triângulo equilátero (que tem todos os lados iguais), quando seus lados medem , sabendo que esses lados crescem a uma taxa de .
Para resolver este problema, usaremos a fórmula para a área de um triângulo equilátero, que é
Onde é a área do triângulo e é o comprimento de cada lado.
Vamos começar diferenciando a fórmula da área em relação ao tempo , que é a variável independente:
Usaremos a regra da cadeia para diferenciar isso. A derivada da área em relação ao tempo será igual à derivada da área em relação ao lado do triângulo multiplicada pela taxa de mudança do lado do triângulo em relação ao tempo .
Passo 2
Agora, vamos encontrar a taxa de variação da área em relação ao lado do triângulo.
Usaremos a regra do produto e a regra da potência para diferenciar isso:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores conhecidos. Sabemos que quando os lados têm 30 cm de comprimento. Substituindo cm na expressão obtemos:
Agora, substituindo
E
na equação
obtemos:
Portanto, a área do triângulo está crescendo a uma taxa de quando os lados têm 30 cm de comprimento.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉