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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.4 - Ex. 17

A Lei da Renda de Pareto afirma que o número de pessoas com renda entre x = a e x = b é N = ∫ a b A x - k . d x , onde A e k são constantes, com A > 0 e k > 1 . A renda média destas pessoas é

x - = 1 N ∫ a b A x 1 - k . d x

Calcule x - .

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos basicamente resolver duas integrais com variáveis.

Boa galera, já sabemos como se calcula x - . Para facilitar cada integral separadamente, ok? Iremos primeiro calcular 𝑁   e depois iremos calcular 𝑥 ¯ .

Passo 2

Começando por N:

N = ∫ a b A x - k . d x

Tiramos a constante A:

N = A ∫ a b x - k . d x

N = A . x 1 - k 1 - k |   b a

Aplicando o intervalo:

N = A b 1 - k 1 - k - a 1 - k 1 - k

Rearranjando:

N = A 1 - k b 1 - k - a 1 - k  

Passo 3

Vamos ir para a próxima:

∫ a b A x 1 - k . d x

Veja que como 𝑁   está fora da integral, não precisamos colocá-la agora para calcularmos a integral, iremos multiplicar o resultado da integração a 𝑁   posteriormente.

Tiramos a constante:

= A ∫ a b x 1 - k . d x

= A . x 2 - k 2 - k |   b a

Aplicando o intervalo:

= A b 2 - k 2 - k - a 2 - k 2 - k

Rearranjando:

= A 2 - k b 2 - k - a 2 - k  

Passo 4

Vamos finalizar substituindo tudo em x - :

𝑥 ¯ = 1 𝐴 𝑏 1 − 𝑘 − 𝑎 1 − 𝑘 1 − 𝑘 ∙ 𝐴 𝑏 2 − 𝑘 − 𝑎 2 − 𝑘 2 − 𝑘

Rearranjando:

x - = 1 - k 2 - k   . b 2 - k - a 2 - k b 1 - k - a 1 - k

Finalizamos nossa questão!

Resposta

x - = 1 - k 2 - k   . b 2 - k - a 2 - k b 1 - k - a 1 - k

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Determine se a equação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. ∫ 2 x 1 + x 2 d x = ∫ 1 1 + x 2 1 t d t + C
Use o resultado obtido no exercício 28 para efetuar as seguintes diferenciações(a) d d x ∫ x 2 x 3 sin 2 ⁡ ( t ) d t (b) d d x ∫ - x x 1 1 + t d t
Simplifique a expressão e obtenha os valores de x com os quais sua simplificação seja válida.(a) e - ln ⁡ x
Use os resultados do exercício 24 para encontrar a derivada:(a) d d x ∫ x 0 1 t 2 + 1 2 d t (b) d d x ∫ 1 / x π cos 3 ⁡ ( t ) d t
Encontre a derivada usando a Fórmula (18) e verifique sua resposta calculando a integral e depois diferenciando.(a) d d x ∫ 1 x 3 1 t d t (b) d d x ∫ 1 ln ⁡ x e t d t