Enunciado

Se a receita entra em uma companhia a uma taxa de f t = 9000 1 + 2 t , em que t é medido em anos e f ( t ) é medido em dólares por ano, encontre a receita total obtida nos primeiros

quatro anos.

Passo 1

Bom galera, nós queremos a quantidade de dólares que chega na companhia durante os primeiros quatro anos, ou seja:

f t d ó l a r e s a n o . ∆ t a n o

Se é assim, o que queremos?

= ∫ 0 4 f t . d t

= ∫ 0 4 9000 1 + 2 t . d t

= 9000 ∫ 0 4 1 + 2 t . d t

Resolvendo por substituição:

u = 1 + 2 t

Derivando:

d u = 2 . d t →   d u 2 = d t

Então:

= 9000 ∫ 0 4 u 1 2 . d u 2 = 45 00 ∫ 0 4 u 1 2 . d u

= 45 00 . u 1 2 + 1 1 2 + 1 | 4 0 = 45 00 . u 3 2 3 2 | 4 0

= 3000 . u 3 2 | 4 0

Substituímos u:

= 3000 . ( 1 + 2 t ) 3 2 | 4 0

Aplicando o intervalo:

= 3000 . 1 + 2 . 4 3 2 - 1 + 2 . 0 3 2

= 3000 . 9 3 2 - 1 3 2 = 3000 . 27 - 1

Sendo assim:

= 78.000   d ó l a r e s

Resposta

78.000   d ó l a r e s

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