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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 12

Lembre que c o s b t = e i b t + e - i b t 2 e que s e n b t = e i b t - e - i b t 2 i . Em cada um dos problemas de 11 a 14, encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais. Suponha que as fórmulas de integração elementares podem ser estendidas para esse caso.

12. f t = c o s b t

Passo 1

Já que o cosseno pode ser escrito como está no enunciado da questão:

c o s b t = e i b t + e - i b t 2

Ao aplicarmos a transformada de Laplace, podemos usar a sua linearidade:

L c o s b t = L e i b t + e - i b t 2 = 1 2 L e i b t + 1 2 L e - i b t

E a gente sabe pela tabela das transformadas que:

∫ 0 ∞ e - s t e a + i b t d t = 1 s - a - i b

Com a condição s > a

A primeira transformada fica:

L e i b t = ∫ 0 ∞ e - s t e i b t d t = 1 s - i b

Como a = 0 , a condição fica s > 0 .

E a segunda:

L e - i b t = ∫ 0 ∞ e - s t e - i b t d t = 1 s + i b

Com a mesma condição.

Agora basta substituir tudo:

L c o s b t = 1 2 1 s - i b + 1 s + i b

Também podemos reescrever como:

L c o s b t = s s 2 + b 2

Resposta

L c o s b t = s s 2 + b 2

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