Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.5 - Ex. 37
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a curva
E nosso objetivo é esboçar o gráfico de usando o roteiro dessa seção.
Lembra como fazemos isso?
O roteiro dessa seção pede para seguirmos um caminho para esboçar o gráfico de qualquer curva... vamos lembrar o que diz esse roteiro.
1° Dominio: Temos que primeiramente determinar o domínio da curva para sabermos onde nossa função é definida.
2° Intersecção com os eixos: aqui vamos fazer para saber quais valores de a curva intersecta o eixo e para saber onde a curva intersecta o eixo .
3° Simetria: Vamos verificar se para ver se a curva possui simetria par, se para ver se a curva possui simetria ímpar e se para ver se a função é periódica.
4° Assíntotas: Para verificar se a curva possui assíntotas horizontais, fazemos
Já para verificar se a curva possui assíntotas verticais, temos que analisar a curva nos pontos de descontinuidade
5° Intervalos de crescimento e decrescimento: Vamos calcular a derivada da curva e analisando o intervalo onde , a função é crescente e quando a função é decrescente.
6° Máximos e mínimos: Para encontrar os pontos de máximos e mínimos, fazemos para obter os pontos críticos, calculamos e substituímos os pontos que encontramos... se , o ponto é de máximo e se o ponto é de mínimo.
7° Concavidade e pontos de inflexão: A concavidade da curva está relacionada com o sinal da segunda derivada... então se , a concavidade é voltada para cima e se a concavidade é voltada para baixo... quando temos um ponto de inflexão.
Bora começar!
Passo 2
Nosso primeiro passo é calcular o domínio da curva
Tanto o termo quanto o termo não possuem restrições no seu domínio, porém o problema já nos deu o domínio da função quando definiu que
Agora precisamos achar os interceptos com os eixos...
Fazendo , temos
Para resolver essa igualdade vamos recorrer à uma calculadora ou a algum método numérico...
Vamos encontrar que para satisfazer essa igualdade, temos
Fazendo , temos
Então a curva passa pela origem!
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos analisar a simetria da função...
Primeiro vamos ver se
Como a igualdade não bateu, a função não possui simetria par...
Para
Como ... a igualdade é válida, então possui simetria ímpar... (o que não vai nos ajudar muito pois nosso domínio não é simétrico com a origem)
Agora vamos analisar as assíntotas...
Como a curva está definida apenas no intervalo , podemos descartar a possibilidade de ter qualquer assíntota.
Show?
Passo 4
Agora vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento...
Primeiro vamos calcular a primeira e a segunda derivada de
Pelo teorema fundamental do cálculo, temos
Calculando a segunda derivada...
Bacana?
Passo 5
Agora sim... analisando a inclinação de , temos que a curva é crescente quando , ou seja
Dentro do nosso domínio, temos que essa inequação é válida para
E a curva decresce quando ...
Calculando os pontos críticos fazendo
Nesse caso, como a função decresce até e depois cresce até e depois decresce até e depois cresce... podemos afirmar que é um ponto de mínimo, é um ponto de máximo e é um ponto de mínimo.
Estamos quase lá!
Passo 6
Por fim, vamos analisar os intervalos das concavidades e os pontos de inflexão...
Temos uma concavidade voltada para cima quando
E a concavidade para baixo quando
Se fizermos para encontrar os pontos de inflexão, vamos obter
Por fim! Juntando tudo que encontramos até aqui, podemos esboçar a nossa curva como:
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
