Para o limite lim x → ∞ ⁡ 4 x 2 + 1 x + 1 = 2 Ilustre a definição 7, encontrando os valores de N correspondentes a ϵ = 0,5eϵ = 0,1

N = 2,824( p a r aϵ = 0,5 ) N = 18,868( p a r aϵ = 0,1 )

Enunciado

Bom galerinha, essa questão pede basicamente para ilustrarmos como a definação 7 se aplica a esse limite que tende ao infinito.

De acordo, com a definição, temos que:

Quando um limite que tende ao infinito resulta em um valor real :

Então para todo , existe um corresponde número tal que para qualquer maior que , a distância da função para é menor que , isso é:

Quando

Temos que

Graficamente, isso pode ser representado da seguinte forma:

Nossa tarefa aqui vai ser encontrar os valores de para quando e .

Usando o primeiro valor de () podemos escrever

Então

Substituindo nossa função e o resultado do nosso limite, temos:

Então, nós esboçamos o gráfico de para encontrar o valor de, e também esboçamos uma reta para ser (reta verde) e outra para ser (reta roxa)

E dando um zoom, ficamos com

Então, temos que

Logo, nosso número N é, aproximadamente:

Agora, analogamente para

Podemos escrever

Se , então

Então, nós esboçamos o gráfico de para encontrar o valor de , daí ficamos com (a reta verde representa e a reta roxa representa )

E dando um zoom, ficamos com

Então, temos que para a função estar entre as retas, é necessário que

Logo, N é aproximadamente