Enunciado

Linearização de l n ⁡ ( 1 + x ) em x = 0 Em vez de aproximar ln x em x = 1, aproximamos ln ( 1 + x) em x =0. Dessa maneira, obten1os uma fórmula mais simples.

  1. Deduza a linearização ln ⁡ 1 + x ≈ x em x = 0 ,
  2. Calcule o erro envolvido na substituição de ln (1 + x) por x no intervalo [ 0 ; 0.1 ] . A resposta deve ter cinco casas decimais
  3. Trace, em um mesmo gráfico, ln ( 1 + x) e x para 0 ≤ x ≤ 0.5 . Use cores diferentes, se possível. Em que pontos a aproximação de ln (1 + x) parece melhor? E pior? Ao ler as coordenadas do gráfico, determine o melhor limite superior para o erro que sua calculadora permitir.

Passo 1

Letra a)

Para linearizar uma função devemos fazer a seguinte conta:

L a = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Onde a função linearizada em a , é a função que deve ser linearizada mais a derivada da função a ser linearizada em a multiplicada pelo termo ( x - a ) . Logo se querermos linearizar a função ln ⁡ ( 1 + x )   em x = 0 . Precisamos saber que:

ln ⁡ ( 1 + 0 ) = ln ⁡ 1 = 0

E que:

ln ⁡ 1 + x ' = 1 1 + x    

Logo:

L 0 = 0 + 1 1 × x - 0 = x

Passo 2

Primeiramente qual função está acima da outra? Fazendo as derivada da função l n conseguimos ver que:

f ' ( ln ⁡ 1 + x ) = 1 1 + x

Que com a derivada primeira vemos que independentemente do x positivo que a função l n ⁡ ( 1 + x ) têm um crescimento menor que a função y = x , que tem a derivada constante igual a 1. Logo para todo x positivo.

Além de que sua derivada segunda é:

f ' ' 1 + x = - 1 1 + x 2

Tendo então concavidade para baixo. O que faz com que ela cresça menos ainda.

x > l n ⁡ ( 1 + x )

Logo o erro para x = 0.1 .

0.1 - ln ⁡ 1.1 = 0.004689 …

Passo 3

Onde em verde temos o gráfico de y = l n ⁡ ( 1 + x ) e em vermelho o gráfico de y = x . A aproximação funciona bem para valores bem pequenos. E por conta disso o erro será calculado da seguinte forma:

E x ≤ 0.5

x - ln ⁡ ( 1 + x ) ≤ 0.5

Para x = 0.5 :

0.5 - ln ⁡ 1.5 = 0.0945

E por quase errar uma casa decimal parece mais preciso o utilizar valores de x ainda menores como o intervalo utilizado na letra b) onde o erro era de 0,004. E onde a separação dos gráficos e bem pouco nítido. Diferente da separação para x = 0.5 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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