Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 57
Linearização de em Em vez de aproximar ln x em x = 1, aproximamos ln ( 1 + x) em x =0. Dessa maneira, obten1os uma fórmula mais simples.
- Deduza a linearização em ,
- Calcule o erro envolvido na substituição de ln (1 + x) por x no intervalo . A resposta deve ter cinco casas decimais
- Trace, em um mesmo gráfico, ln ( 1 + x) e x para . Use cores diferentes, se possível. Em que pontos a aproximação de ln (1 + x) parece melhor? E pior? Ao ler as coordenadas do gráfico, determine o melhor limite superior para o erro que sua calculadora permitir.
Passo 1
Letra a)
Para linearizar uma função devemos fazer a seguinte conta:
Onde a função linearizada em , é a função que deve ser linearizada mais a derivada da função a ser linearizada em multiplicada pelo termo . Logo se querermos linearizar a função em . Precisamos saber que:
E que:
Logo:
Passo 2
Primeiramente qual função está acima da outra? Fazendo as derivada da função conseguimos ver que:
Que com a derivada primeira vemos que independentemente do positivo que a função têm um crescimento menor que a função , que tem a derivada constante igual a 1. Logo para todo positivo.
Além de que sua derivada segunda é:
Tendo então concavidade para baixo. O que faz com que ela cresça menos ainda.
Logo o erro para .
Passo 3
Onde em verde temos o gráfico de e em vermelho o gráfico de . A aproximação funciona bem para valores bem pequenos. E por conta disso o erro será calculado da seguinte forma:
Para :
E por quase errar uma casa decimal parece mais preciso o utilizar valores de ainda menores como o intervalo utilizado na letra b) onde o erro era de 0,004. E onde a separação dos gráficos e bem pouco nítido. Diferente da separação para .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)