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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 78

Suponha que a posição de um corpo que se desloca sobre um eixo coordenado no momento t   seja

  1. s = a cos ⁡ k t   + b   s e n   k t  
  2. s = a cosh ⁡ k t   + b   s e n h   k t  

Demonstre que, em ambos os casos, a aceleração d 2 s / d t 2 é proporcional a s , mas que, no primeiro caso, é direcionada para a origem, enquanto, no segundo caso, é direcionada para longe da origem.

Passo 1

Vamos calcular a derivada segunda de ambos os casos e comparar os resultados.

  1. s = a cos ⁡ k t   + b   s e n   k t  

    2. d s d t = a   - s e n   k t k + b ( cos ⁡ k t   ) k   =   - a k   s e n   k t + b k cos ⁡ k t

    d 2 s d t 2 = - a   k 2 cos ⁡ k t - b k 2 s e n   k t

    Vamos colocar a constante em evidência...

    - k 2 a cos ⁡ k t + b k   s e n   k t =   - k 2 s

    Provamos então que é proporcional a s , e veja que se a constante k é negativa (nosso caso), a função vai estar desacelerando, logo, se aproximando da origem.

    Passo 2

  2. Vamos fazer a mesma coisa do item a):

s = a cosh ⁡ k t   + b   s e n h   k t  

d s d t = a k   s e n h   k t + b k cosh ⁡ k t

d 2 s d t = a k 2 c o s h   k t + b k 2 senh ⁡ k t

Colocando o k 2 em evidência...

k 2 a cosh ⁡ k t + b s e n h   k t   = k 2 s

Então, d 2 s / d t também é proporcional a s nesse caso, porém como a constante é positiva, a função vai acelerar, e portanto vai se afastar da origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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