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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 113

Obtenha o resultado por uma substituição da função hiperbólica.

∫ d x x 2   a 2 + x 2 = - 1 a 2 c o t a n h   s e n h - 1 x a + C ,     a > 0

Passo 1

O exercício pede para provarmos a relação fazendo uma substituição por função hiperbólica na integral. Para isso, você deve lembrar que

cosh 2 ⁡ t - s e n h 2   t = 1 ⇒ cosh 2 ⁡ t = 1 + s e n h 2   t

Assim, vamos fazer a substituição x = a   s e n h   t . Assim,

a 2 + x 2 = a 1 + s e n h 2   t = a cosh 2 ⁡ t = a cosh ⁡ t

Além disso,

d x = cosh ⁡ t   d t

Portanto,

I = ∫ d x x 2   a 2 + x 2 = ∫ a cosh ⁡ t a 2 s e n h 2   t ⋅ a cosh ⁡ t d t = 1 a 2 ∫ 1 s e n h 2   t   d t

Passo 2

Por outro lado, sabemos que

c o s s e c h   t = 1 s e n h   t

Assim,

I = 1 a 2 ∫ c o s s e c h 2   t   d t

Agora você vai ter que lembrar de uma fórmula apresentada no teorema 8.4.6:

∫ c o s s e c h 2   t   d t = - c o t a n h   t + C

Assim,

I = - 1 a 2 c o t a n h   t + C

Passo 3

Por fim, basta lembrar que chamamos x = a   s e n h   t . Portanto,

s e n h   t = x a ⇒ t = s e n h - 1 x a

Desta forma,

I = - 1 a 2 c o t a n h   s e n h - 1 x a + C

Essa é a relação que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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