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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 8

int (1)/(9 x^4 + x^2) d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (1)/(x^2 ( 9 x^2 + 1 )) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(1)/(x^2 ( 9 x^2 + 1 )) = (A (18 x) + B)/(( 9 x^2 + 1 )) + (C)/(x^2) + (D)/(x)

Isolando 1 , vamos achar

1 = ( A (18 x) + B ) x^2 + C (9 x^2 + 1) + D x ( 9 x^2 + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 0 ; B = - 9 ; C = 1 ; D = 0 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(1)/(x^2 ( 9 x^2 + 1 )) = (- 9)/(( 9 x^2 + 1 )) + (1)/(x^2)

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (1)/(x^2 ( 9 x^2 + 1 )) d x = int (- 9)/(( 9 x^2 + 1 )) d x + int (1)/(x^2) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

Resposta

int (1)/(9 x^4 + x^2) d x = - (1)/(x) - 3 t a n^(- 1) ( 3 x ) + c

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