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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 9

int (1)/(x^3 + x^2 + x) d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (1)/(x ( x^2 + x + 1 )) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(1)/(x ( x^2 + x + 1 )) = (A (2 x + 1) + B)/(( x^2 + x + 1 )) + (C)/(x)

Isolando 1 , vamos achar

1 = ( A (18 x) + B ) x + C ( x^2 + x + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = - (1)/(2) ; B = - (1)/(2) ; C = 1 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(1)/(x ( x^2 + x + 1 )) = (- (1)/(2) (2 x + 1) - (1)/(2))/(( x^2 + x + 1 )) + (1)/(x)

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (1)/(x ( x^2 + x + 1 )) d x = int (- (1)/(2) (2 x + 1) - (1)/(2))/(( x^2 + x + 1 )) d x + int (1)/(x) d x

Resposta

int (1)/(x^3 + x^2 + x) d x = - ( t a n^(- 1) ( (1 + 2 (x)/(sqrt(3)))/(sqrt(3)) ) + l n ( x ) - (1)/(2) l n ( 1 + x + x^2 ) + c

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Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes. a) x 4 - 2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1 b) x 2 - 1x 3 + x