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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 6

int (3 x^3 + 13 x + 4)/(x^3 + 4 x) d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (3 x^3 + 13 x + 4)/(x ( x^2 + 4 )) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(3 x^3 + 13 x + 4)/(x ( x^2 + 4 )) = (A (2 x) + B)/(( x^2 + 4 )) + (C)/(x)

Isolando 3 x^3 + 13 x + 4 , vamos achar

3 x^3 + 13 x + 4 = ( A (2 x) + B ) x + C ( x^2 + 4 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = - (1)/(2) ; B = 13 ; C = 1 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(3 x^3 + 13 x + 4)/(x ( x^2 + 4 )) = (- (1)/(2) (2 x) + 13)/(( x^2 + 4 )) + (1)/(x)

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (3 x^3 + 13 x + 4)/(x ( x^2 + 4 )) d x = int (- (1)/(2) (2 x) + 13)/(( x^2 + 4 )) d x + int (1)/(x) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

Resposta

int (3 x^3 + 13 x + 4)/(x^3 + 4 x) d x = - l n (2 - x) + l n (4 + x^2) + c

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