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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.1 - Ex. 43

f (x) = x^3 + 2

Passo 1

Letra a.

Vamos determinar se existe inversa.

y = x^3 + 2

y^' = 3 x^2

Como a derivada é diferente de e restritamente positiva para todo x, logo ela admite inversa.

Passo 2

Letra b.

Agora vamos achar a inversa.

y = x^3 + 2

Isolando x.

x = (y - 2)^((1)/(3))

Passo 3

Letra c.

Vamos provar o Teorema que foi pedido.

Teorema:

f^(- 1) (f x) = x

y = x^3 + 2

x = (y - 2)^((1)/(3))

x = (x^3 + 2 - 2)^((1)/(3)) = x

Foi provado o Teorema.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja y=f(x) e x = f - 1 y , verifique qued x d y = 1 d y d x f x = 2 x - 3 x + 2
Seja y=f(x) e x = f - 1 y , verifique qued x d y = 1 d y d x f x = 4 x - 3
Seja y=f(x) e x = f - 1 y , verifique qued x d y = 1 d y d x f x = 7 - 2 x