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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 12

int (3 x^2 - x + 1)/(x^3 - x^2) d x

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (3 x^2 - x + 1)/(x^2 ( x - 1 )) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(3 x^2 - x + 1)/(x^2 ( x - 1 )) = (A)/(x^2) + (B)/(x) + (C)/(( x - 1 ))

Isolando 3 x^2 - x + 1 , vamos achar

3 x^2 - x + 1 = A ( x - 1 ) + B x ( x - 1 ) + C x^2

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = - 1 ; B = 0 ; C = 3

Agora substituindo os valores de A, B e C, temos:

(3 x^2 - x + 1)/(x^2 ( x - 1 )) = (- 1)/(x^2) + (3)/(( x - 1 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (3 x^2 - x + 1)/(x^2 ( x - 1 )) d x = int (- 1)/(x^2) d x + int (3)/(( x - 1 )) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (3 x^2 - x + 1)/(x^2 (x - 1)) d x = 1 // x + 3 l n | 1 - x |

Resposta

int (3 x^2 - x + 1)/(x^3 - x^2) d x = (1)/(x) + 3 ln |1 - x| + c

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