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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 3

int (5 x - 2 d x)/(x^2 - 4)

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 2 e -2, logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

int (5 x - 2 d x)/(( x - 2 ) ( x + 2 ))

Para x diferente de 2 e -2.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(5 x - 2)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = (A)/(( x - 2 )) + (B)/(( x + 2 ))

Isolando 5 x - 2 , vamos achar

5 x - 2 = A (x + 2) + B ( x - 2 )

Vemos que agora os valores 2 e -2 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B.

A = 2 ; B = 3

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

(5 x - 2)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = (2)/(( x - 2 )) + (3)/(( x + 2 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (5 x - 2 d x)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = (int (2 d x)/(( x - 2 )) + int (3 d x)/(( x + 2 )))

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (5 x - 2 d x)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = (2 l n | x - 2 | - 3 l n | x + 2 |)

Resposta

int (5 x - 2 d x)/(x^2 - 4) = (2 l n | x - 2 | - 3 l n | x + 2 |) + c

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