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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 19

int (- 24 x^3 + 30 x^2 + 52 x + 17)/(9 x^4 - 6 x^3 - 11 x^2 + 4 x + 4) d x

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (- 24 x^3 + 30 x^2 + 52 x + 17)/(( 3 x + 2 )^2 ( x - 1 )^4) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(- 24 x^3 + 30 x^2 + 52 x + 17)/(( 3 x + 2 )^2 ( x - 1 )^2) = (A)/(( 3 x + 2 )^2) + (B)/(( 3 x + 2 )) + (C)/(( x - 1 )^2) + (D)/(( x - 1 ))

Isolando - 24 x^3 + 30 x^2 + 52 x + 17 , vamos achar

- 24 x^3 + 30 x^2 + 52 x + 17 =

= A (x - 1)^2 + B ( 3 x + 2 ) (x - 1)^2 + C ( 3 x + 2 )^2 + D ( 3 x + 2 )^2 ( x - 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 1 ; B = - 2 ; C = 3 ; D = - 2

Agora substituindo os valores de A, B, C e D temos:

(- 24 x^3 + 30 x^2 + 52 x + 17)/(( 3 x + 2 )^2 ( x - 1 )^2) = (1)/(( 3 x + 2 )^2) + (- 2)/(( 3 x + 2 )) + (3)/(( x - 1 )^2) + (- 2)/(( x - 1 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (- 24 x^3 + 30 x^2 + 52 x + 17)/(( 3 x + 2 )^2 (x - 1)^2) d x = int (1)/(( 3 x + 2 )^2) d x + int (- 2)/((3 x + 2)) d x + int (3)/((x - 1)^2) d x

+ int (- 2)/(( x - 1 )) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (- 24 x^3 + 30 x^2 + 52 x + 17)/(( 3 x + 2 )^2 (x - 1)^2) d x = (1)/(3) ((17 + 28 x)/(2 + x - 3 x^2) - 6 ln | 1 - x | - 2 ln | 2 + 3 x |)

Resposta

int (- 24 x^3 + 30 x^2 + 52 x + 17)/(9 x^4 - 6 x^3 - 11 x^2 + 4 x + 4) d x = (1)/(3) ((17 + 28 x)/(2 + x - 3 x^2) - 6 ln | 1 - x | - 2 ln | 2 + 3 x |) + c

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Avalie a integral.int (x^3 - 2 x^2 + 2 x - 5)/(x^4 + 4 x^2 + 3) d x
Calcule a integral. ∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 + 2 x 2 d x
v = ( t + 3 ) ( t + 1 ) ( t + 2 )