Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 6
Uma massa de estica uma mola de . Se a massa for colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade apontando para baixo de , e se não houver amortecimento, determine a posição da massa em qualquer instante . Quando a massa retorna pela primeira vez à sua posição de equilíbrio?
Passo 1
Vamos inicialmente fazer algumas considerações físicas do nosso problema para formula-lo matematicamente, ok?
Temos uma massa de (unidade no SI) suspensa por uma mola de tamanho de (unidade no SI), que chamamos de posição de repouso.
Vamos supor olhar para a nossa massa, quando ela ta passando pela posição de equilíbrio, seguindo para baixo com uma velocidade de . Neste instante dizemos que é nosso marco zero de medida, ou seja, neste momento.
Equacionando nosso problema, temos
Segunda Lei de Newton
No caso de molas, que são consideradas formas restauradoras, temos que
Onde é a contantes da mola, e é sua posição em relação à posição de repouso.
Desta forma ficamos com
Nossa equação diferencial.
Já resolvemos anteriormente problemas assim, mas a seção também aborda essa equação diferencial e nos da como solução
Onde
Chamada de frequência natural.
Qualquer duvida com relação a isso, olhar as Eq. (12) e (13).
Pela Eq.(15), vemos que a Eq.(12) pode ser escrita como
Que é exatamente o que queremos escrever.
Passo 2
Vamos lá!!!
Como acabamos de dizer, queremos escrever
Então, se derivarmos em função do tempo, temos que
E como o problema sugere, temos que no instante em
Ou seja
e
Enquanto
Assim
Desta forma temos nossa função dada por
O sinal negativo aparece porque adotamos a orientação da nossa velocidade inicial para baixo como negativa.
Passo 3
Agora queremos saber quando a massa passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez após começar o seu movimento, ou seja, quando e
Que só é possível quando
Que implica necessáricamente em
Ou seja