Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 7
Uma massa pesando estica uma mola de . Se a massa for empurrada pra cima, contraindo a mola de , e depois for colocada em movimento com uma velocidade para baixo de (cerca de ), e se não houver amortecimento, encontre a posição da massa em qualquer instante . Determine a frequência, o período, a amplitude e a fase do movimento.
Passo 1
Equacionando nosso problema, temos
Segunda Lei de Newton
No caso de molas, que são consideradas formas restauradoras, temos que
Onde é a contantes da mola, e é sua posição em relação à posição de repouso.
Desta forma ficamos com
Nossa equação diferencial.
Já resolvemos anteriormente problemas assim, mas a seção também aborda essa equação diferencial e nos da como solução
Onde
Chamada de frequência natural.
Qualquer duvida com relação a isso, olhar as Eq. (12) e (13).
Pela Eq.(15), vemos que a Eq.(12) pode ser escrita como
Que é exatamente o que queremos escrever no final, ou algo parecido.
Passo 2
Vamos lá!!!
Vamos inicialmente fazer algumas considerações físicas do nosso problema para formula-lo matematicamente, ok?
Temos uma massa de aproximadamente (unidade no SI) suspensa por uma mola de esticada de (unidade no SI), que chamamos de posição de repouso.
Nossa mola então é contraída a para cima. Ela então é solta com uma velocidade de . Dizemos que tudo isso se passa em nosso .
Este é o tipíco exercício que nos faz odiar o sistema métrico americano. Mas vamos resolve-lo utilizando-as e tentar entender algumas coisinhas.
Primeiro temos que a unidade , libras pode ser sugerida como unidade de peso, assim podemos fazer que
Onde é o peso e a distância que a mola estica. Outra coisa importante é saber que , ou seja, polegadas é igual a pé, unidade de comprimentos. Assim
Como vimos podemos escrever nossa equação diferencial como
Assim tome que
Que é o Peso pela gravidade em unidades estranhas hahaha
Logo temos que
Que temos como solução
Passo 3
Agora vamos tomar as condições iniciais, onde
Que nos dá
E assim temos
Com e
Passo 4
Para acharmos a amplitude, tome que queremos escrever nossa função como
Onde abrindo, temos
Onde deveríamos ter que
Assim elenando os dois lados ao quadrado e somando tudo
Com uma fase