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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 35

Massa de um fio de densidade variável Encontre a massa de um fio fino que se encontra ao longo da curva r(t) =

22ti + 22tj + s4 - t 2dk, 0 ≤ t ≤ 1, se a densidade for (a)

d = 3t e (b) d = 1.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A questão pede para calcularmos a massa de um fio estendido sobre a curva r → ( t ) = 2 t i → + 2 t j → + 4 - t 2 k → com 0 ≤ t ≤ 1 , com densidade de δ = 3 t .Para resolver, vamos utilizar a integral de linha apresentada na teoria do livro, página 365 :

M = ∫ a b   δ ( x , y , z ) d s = ∫ a b   δ ( x , y , z ) d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t = ∫ a b   δ ( x , y , z ) d r → d t d t

Passo 2

Antes de partir para os itens, vamos primeiro encontrar o módulo do vetor posição d r ‾ d t .Como já sabemos, o vetor posição é: r → ( t ) = 2 t i → + 2 j → + 4 - t 2 k → .Então encontramos a sua derivada como sendo:

d r → d t = 2 i → + 2 j → - 2 t k →

Assim, agora calculamos o módulo de d r ‾ d t :

d r → d t = ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 + ( - 2 t ) 2 = 2 + 2 + 4 t 2 = 2 1 + t 2

Passo 3

(a) Podemos agora retornar ao cálculo de M através da integral:

M = ∫ a b   δ ( x , y , z ) d r → d t d t

Para isso, vamos substituir os valores de δ = 3 t e d r ‾ d t = 2 1 + t 2 .

M = ∫ 0 1   3 t 2 t 2 + 1 d t = 2 t 2 + 1 3 / 2 0 1 = 2 2 3 / 2 - 1 = 4 2 - 2

Passo 4

(b) E no caso da densidade ser δ = 1 e d r ‾ d t = 2 1 + t 2 , temos:

M = ∫ 0 1     1 2 t 2 + 1 d t = t 1 + t 2 + l n ⁡ t + 1 + t 2 0 1 = [ 2 + l n ⁡ ( 1 + 2 ) ] - ( 0 + l n ⁡ 1 ) =   = 2 + l n ⁡ ( 1 + 2 )

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área de um lado da “parede” de pé ortogonalmentesobre a curva 2x + 3y = 6, 0 ≤ x ≤ 6, e abaixo da curva na superfície ƒ(x, y) = 4 + 3x + 2y.
Encontre a área de um dos lados da “parede curva” de pé ortogonalmente sobre a curva y = x2, 0 ≤ x ≤ 2, e abaixo da curvana superfície ƒ(x, y) = x + 2y.
O que são escoamento, circulação e fluxo?
Integre f (x , y , z) = sqrt(x^2 + y^2) sobre a curva involuta r (t) = (cos t + t sen t) i + (sen t - t cos t) j , 0 = t = sqrt(3)