Integre f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2) sobre a curva involuta

r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j, 0 ≤ t ≤ raiz(3)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, vamos calcular o comprimento do arco da curva

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2   d t

Desenvolvendo os termos,

d s = - sen ⁡ t + t cos ⁡ t + sen ⁡ t 2 + cos ⁡ t - - t sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 + 0 2   d t

Com isso, nós temos que

d s = t 2 sen 2 ⁡ t + t 2 cos 2 ⁡ t   d t = t 2   d t = t   d t

Passo 2

Usando a substituição para calcular o valor da integral de linha.

∫ x 2 + y 2   d s = ∫ 0 3 1 + t 2 1 2 ∙ t   d t

Que tem como resultado

∫ x 2 + y 2   d s = 1 2 ∙ 2 3 1 + t 2 3 2 0 3 = 1 3 1 + 3 2 3 2 - 1 + 0 2 3 2

Logo, temos o seguinte resultado

∫ x 2 + y 2   d s = 1 3 4 3 2 - 1 3 2 = 4 3 - 1 3 = 8 - 1 3 = 7 3

Resposta

∫ x 2 + y 2   d s = 7 3

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