Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 4

Integre f (x , y , z) = sqrt(x^2 + y^2) sobre a curva involuta

r (t) = (cos t + t sen t) i + (sen t - t cos t) j , 0 <= t <= sqrt(3)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, vamos calcular o comprimento do arco da curva

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t

Desenvolvendo os termos,

d s = sqrt([- sen t + (t cos t + sen t)]^2 + [cos t - (- t sen t + cos t)]^2 + 0^2) d t

Com isso, nós temos que

d s = sqrt(t^2 sen^2 t + t^2 cos^2 t) d t = sqrt(t^2) d t = t d t

Passo 2

Usando a substituição para calcular o valor da integral de linha.

int sqrt(x^2 + y^2) d s = int_0^(sqrt(3)) (1 + t^2)^((1)/(2)) * t d t

Que tem como resultado

int sqrt(x^2 + y^2) d s = (1)/(2) * (2)/(3) [(1 + t^2)^((3)/(2))]_0^(sqrt(3)) = (1)/(3) [(1 + (sqrt(3))^2)^((3)/(2)) - (1 + 0^2)^((3)/(2))]

Logo, temos o seguinte resultado

int sqrt(x^2 + y^2) d s = (1)/(3) (4^((3)/(2)) - 1^((3)/(2))) = ((sqrt(4))^3 - 1)/(3) = (8 - 1)/(3) = (7)/(3)

Resposta

int sqrt(x^2 + y^2) d s = (7)/(3)

Exercícios de Livros Relacionados

2. Prove que F → . n → for constante sobre Im γ, então o fluxo deF → . n → através de γ é o produto de F → . n → pelo comprimento de γ, onde n → é normal a γ
Massa de um fio de densidade variável Encontre a massa de um fio fino que se encontra ao longo da curva r(t) =22ti + 22tj + s4 - t 2dk, 0 ≤ t ≤ 1, se a densidade for (a)d = 3t e (b) d = 1.
Encontre a área de um dos lados da “parede curva” de pé ortogonalmente sobre a curva y = x2, 0 ≤ x ≤ 2, e abaixo da curvana superfície ƒ(x, y) = x + 2y.
O que são escoamento, circulação e fluxo?