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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 31

Encontre a área de um dos lados da “parede curva” de pé ortogonalmente sobre a curva y = x2, 0 ≤ x ≤ 2, e abaixo da curva

na superfície ƒ(x, y) = x + 2y.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a área de um sólido sobre a curva y = x 2 , com 0 ≤ x ≤ 2 , e abaixo da curva da superfície dada por f ( x , y ) = x + y , devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 366 , a integral de linha de uma função f ( x , y ) ao longo do caminho C fornece a área da porção da superficie abaixo de z = f ( x , y ) ≥ 0 . Essa integral é calculada por

∫ C   f ( x , y ) d r ‾ d t d t

Passo 2

Devemos começar encontrando o vetor posição r → que é dado por r → = x i → + y j → . Do enunciado, sabemos que y = x 2 , com 0 ≤ x ≤ 2 . Dessa forma, se x = t teremos que y = t 2 Temos, então, que o vetor posição é: r → ( t ) = t i → + t 2 j → , com 0 ≤ t ≤ 2 .Assim, podemos calcular a sua derivada, como segue: d r → d t = i → + ( 2 t ) j → e

d r ‾ d t = 1 2 + ( 2 t ) 2 = 1 + 4 t 2 .

A função é: f t , t 2 = t + t 2 .Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ C   f ( x , y ) d r ‾ d t d t .

Passo 3

Fazendo as substituições de f ( x , y ) e d r ‾ d t calculados anteriormente, teremos então que:

A = ∫ 0 2   t + t 2 1 + 4 t 2 d t = ∫ 0 2   2 t 1 + 4 t 2 d t

Passo 4

A integral ∫ 0 2   2 t 1 + 4 t 2 d t deve ser resolvida por substituição, como segue:Substituindo u = 1 + 4 t 2 e d u = 8 t , temos:

∫ 0 2   2 t 1 + 4 t 2 d t = ∫ 1 17   2 t u 1 / 2 8 t d u = ∫ 1 17   u 1 / 2 4 d u = 2 12 u 3 / 2 1 17 = 1 6 u 3 / 2 1 17

Trocando novamente u = 1 + 4 t 2 , o valor da área será A = 1 6 1 + 4 t 2 3 / 2 0 2 = 1 6 17 3 / 2 - 1

Resposta

A área será 1 6 17 3 / 2 - 1 .

Exercícios de Livros Relacionados

2. Prove que F → . n → for constante sobre Im γ, então o fluxo deF → . n → através de γ é o produto de F → . n → pelo comprimento de γ, onde n → é normal a γ
Calcule ∫ γ F → . n → d s sendo dados ( para evitar repetição ficara subentendido que n → é unitário ) F → x , y = xi →+ yj →, γ t = t ,t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 n → a normal com componente y0
Dentre todas as regiões retangulares 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b , encontre aquela para a qual o fluxo exterior total de F = x 2 + 4 x y i - 6 y j atraves dos quatro lados é minimo. Qual é o fluxo minimo?
Encontre uma equação para o plano através da origem de modo que a circulação do campo de escoamento F = z i + x j + y k ao redor da circunferência de interseção do plano com a esfera x 2 + y 2 + z 2 =
Centro de massa de um fio com densidade variável Encontre o centro de massa de um fio fino que se encontra ao longoda curva r(t) = ti + 2tj + (2/3)t3/2k, 0 ≤ t ≤ 2, se a densidade ford = 315 + t.