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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 3

Encontre os campos gradientes das funções nos Exercícios 1-4.

g ( x , y , z ) = e z - l n ⁡ x 2 + y 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Conforme você estudou na página 371 , o campo gradiente de uma função derivável g ( x , y , z ) é um campo de vetores gradiente ∇ ‾ f = ∂ g ∂ x i → + ∂ g ∂ y j → + ∂ g ∂ z k →

Passo 2

Então, se g ( x , y , z ) = e z - l n ⁡ x 2 + y 2 , para encontrarmos o campo de vetores gradiente de g ( x , y , z ) , devemos encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis, certo?

Perceba que, para o cálculo das derivadas de funções de mais de uma variável, você deve aplicar a seguinte regra:

∂ g ∂ x = ∂ g ∂ u × ∂ u ∂ x ,  com  u = x 2 + y 2

Passo 3

Comece derivando em relação a x :

∂ g ( x , y , z ) ∂ x = ∂ e z - l n ⁡ x 2 + y 2 ∂ x = - 2 x x 2 + y 2

Já em relação a y , teremos:

∂ g ( x , y , z ) ∂ y = ∂ e z - l n ⁡ x 2 + y 2 ∂ y = - 2 y x 2 + y 2

Ao passo que em relação a z , será:

∂ g ( x , y , z ) ∂ z = ∂ e z - l n ⁡ x 2 + y 2 ∂ z = e z

Passo 4

Agora, substituindo os resultados na expressão ∇ ‾ f = ∂ g ∂ x i → + ∂ g ∂ y j → + ∂ g ∂ z k → , chegamos ao resultado da questão:

∇ → g = ∂ g ∂ x i → + ∂ g ∂ y j → + ∂ g ∂ z k → = - 2 x i → x 2 + y 2 + - 2 y j → x 2 + y 2 + e z k → = - 2 x i → - 2 y j → x 2 + y 2 + e z k →

Resposta

Resposta nos passos.

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