f(x, y) = x + y, C: x^2 + y^2 = 4 no primeiro quadrante entre (2,0) e (0,2)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de f ( x , y ) = x + y ao longo da curva C , dada por x 2 + y 2 = 4 e está no primeiro quadrante entre os pontos ( 2,0 ) e ( 0,2 ) , devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 363 , a integral de linha de uma função f ( x , y ) ao longo do caminho C é calculada por ∫ C   f ( x , y ) d r → d t d t , onde f ( x , y ) é uma função contínua em C e d r → d t a velocidade instantânea sobre o caminho.

Passo 2

Devemos começar encontrando o vetor posição r → que é dado por r → = x i → + y j → . Em coordenadas polares, podemos escrever x = 2 c o s ⁡ t e y = 2 sent .

Temos, então, que o vetor posição é: r → ( t ) = ( 2 c o s ⁡ t ) i → + ( 2 s e n ⁡ t ) j → , c o m ⁡ 0 ≤ t ≤ π / 2 .Logo, temos que d r → d t = - ( 2 s e n ⁡ t ) i → + ( 2 c o s ⁡ t ) j → e d r → d t = ( - 2 s e n ⁡ t ) 2 + ( 2 c o s ⁡ t ) 2 = 2 A função f ( 2 c o s ⁡ t , 2 s e n ⁡ t ) = 2 c o s ⁡ t + 2 s e n ⁡ t .

Passo 3

Assim você poderá voltar a forma da integral dada por ∫ C   f ( x , y ) d r → d t d t .Fazendo as substituições de f ( x , y ) e d r ‾ d t calculados anteriormente, teremos então o seguinte resultado final:

∫ 0 π / 2   ( 2 c o s ⁡ t + 2 s e n ⁡ t ) 2 d t = ∫ 0 π / 2   4 c o s ⁡ t d t + ∫ 0 π / 2   4 s e n ⁡ t d t = [ 4 s e n ⁡ t - 4 c o s ⁡ t ] 0 π / 2 = 4 - ( - 4 ) = 8

Resposta

∫ 0 π / 2   ( 2 c o s ⁡ t + 2 s e n ⁡ t ) 2 d t = 8

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