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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 29

f ( x , y ) = x + y , C : x^2 + y^2 = 4 no primeiro quadrante entre ( 2,0 ) e ( 0,2 )

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de f ( x , y ) = x + y ao longo da curva C , dada por x^2 + y^2 = 4 e está no primeiro quadrante entre os pontos ( 2,0 ) e ( 0,2 ) , devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 363 , a integral de linha de uma função f ( x , y ) ao longo do caminho C é calculada por int_C f ( x , y ) |(d vec r)/(d t)| d t , onde f ( x , y ) é uma função contínua em C e |(d vec r)/(d t)| a velocidade instantânea sobre o caminho.

Passo 2

Devemos começar encontrando o vetor posição vec r que é dado por vec r = x vec i + y vec j . Em coordenadas polares, podemos escrever x = 2 c o s t e y = 2 sent .

Temos, então, que o vetor posição é: vec r ( t ) = ( 2 c o s t ) vec i + ( 2 s e n t ) vec j , c o m 0 <= t <= pi // 2 .Logo, temos que (d vec r)/(d t) = - ( 2 s e n t ) vec i + ( 2 c o s t ) vec j e |(d vec r)/(d t)| = sqrt(( - 2 s e n t )^2 + ( 2 c o s t )^2) = 2 A função f ( 2 c o s t , 2 s e n t ) = 2 c o s t + 2 s e n t .

Passo 3

Assim você poderá voltar a forma da integral dada por int_C f ( x , y ) |(d vec r)/(d t)| d t .Fazendo as substituições de f ( x , y ) e |(d overset(‾)(r))/(d t)| calculados anteriormente, teremos então o seguinte resultado final:

int_0^(pi // 2) ( 2 c o s t + 2 s e n t ) 2 d t = int_0^(pi // 2) 4 c o s t d t + int_0^(pi // 2) 4 s e n t d t = [ 4 s e n t - 4 c o s t ]_0^(pi // 2) = 4 - ( - 4 ) = 8

Resposta

int_0^(pi // 2) ( 2 c o s t + 2 s e n t ) 2 d t = 8

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