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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 3

Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja constante é 16 N/m. Uma força externa igual a f t = 8 . s e n ( 4 t ) age no sistema a partir de t = 0 . Encontre a equação de movimento se o meio oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 8 vezes a velocidade instantânea.

Passo 1

Vamossss

Temos que montar o nosso PVI

Seguindo a equação (2) do seu livro:

d 2 x d t 2 + β m d x d t + k m x = f t m

No nosso caso, temos β = 8 , m = 1 k g , k = 16   N / m e f t = 8 . s e n ( 4 t ) , então:

d 2 x d t 2 + 8 d x d t + 16 x = 8 . s e n ( 4 t )

Como ele não dá informações de condições iniciais, consideramos

x 0 = 0

x ' 0 = 0

Agora temos que resolver esse PVI, fechou?

Passo 2

Temos

d 2 x d t 2 + 8 d x d t + 16 x = 8 . s e n ( 4 t )

x 0 = 0

x ' 0 = 0

Daí, temos

x c = c 1 . e - 4 t + c 2 . t . e - 4 t

E

x p = - 1 4 . c o s ⁡ ( 4 t )

Portanto:

x t = x c + x p

x t = 1 4 . e - 4 t + t . e - 4 t - 1 4 . c o s ⁡ ( 4 t )

E encontramos nossa equação do movimento :D

Resposta

x t = 1 4 . e - 4 t + t . e - 4 t - 1 4 . c o s ⁡ ( 4 t )

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