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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 26c

Considere o problema de valor inicial

Suponha que γ²

Investigue a dependência de R no coeficiente de amortecimento γ para valores fixos dos outros parâ-metros.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos a seguinte relação:

u = e r t

u ' = r e r t

u ' ' = r ² e r t

A amplitude do sistema é dada por:

m r 2 e r t + γ r e r t +   k e r t = 0

m r ² + γ r + k = 0

r = - γ 2 m ± i μ  

Usando o princípio da superposição, teremos uma combinação para tera seguinte solução geral:

u t = e - γ t 2 m C 3 cos ⁡ μ t + C 4 sin ⁡ μ t

u ' ( t ) = - γ t 2 m e - γ t 2 m C 3 cos ⁡ μ t + C 4 sin ⁡ μ t + e - γ t 2 m - C 3 μ sin ⁡ μ t + C 4 μ cos ⁡ μ t  

u 0 = C 3 = u o

u ' 0 =   - γ 2 m C 3 + C 4 μ = v o

C 3 = u o

C 4 = 1 μ   v o + γ 2 m u o

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

R cos ⁡ δ = u o

R sin ⁡ δ = 1 4 m k - γ 2 2 m v 0 + γ u o

u t = R e - γ t 2 m cos ⁡ 4 m k - γ 2 2 m t - δ

R = u o 2 + 2 m v 0 + γ u o 2 4 m - γ 2

tan ⁡ δ =   1 u o 4 m k - γ 2 2 m v 0 + γ u o

Resposta

R = u o 2 + 2 m v 0 + γ u o 2 4 m - γ 2

tan ⁡ δ =   1 u o 4 m k - γ 2 2 m v 0 + γ u o

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