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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 27

Um bloco cúbico de lado l e densidade de massa ρ por unidade de volume está flutuando em um fluido com densidade de massa ρ0 por unidade de volume, em que ρ0 > ρ. Se o bloco é mergulhado ligeiramente e depois solto, ele oscila na posição vertical. Supondo que é possível desprezar o amortecimento viscoso do fluido e a resistência do ar, deduza a equação diferencial do movimento e determine o período do movimento.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a equação e o período de movimento. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser aplicar a segunda lei de Newton na direção x para obter a equação de movimento.

∑ F x = m a x

- F b + F g = m a x

- ρ o l 2 x e q + x g + ρ l 3 g = m x n

- ρ o l 2 x g = m x n

x n + ρ o g ρ l x = 0

x t = C 1 cos ⁡ ρ o g ρ l t + C 2 sin ⁡ ρ o g ρ l t

C 1 = A cos ⁡ δ

C 2 = A sin ⁡ δ

x t = A cos ⁡ ρ o g ρ l t - δ

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

ω = ρ o g ρ l

T = 2 π ω

T = 2 π ρ l ρ o g

Resposta

T = 2 π ρ l ρ o g

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