Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 11.3 - Ex. 33b
Melhore essa estimativa usando (3) com .
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Temos essa equação aqui
E o problema pede para melhorarmos essa estimativa, mas com . E agora? Então a ideia é desmistificar essa fórmula de aproximação e aplicar para
Temos que a soma de uma determinada função, no nosso caso , para os n primeiros termos está entre o próximo termo e o anterior.
Como , temos que e daí as integrais que aparecem nessa desigualdade ficam
e
E a ideia é resolver essas integrais e substituir os limites de integração na desigualdade. Encontraremos dois números, e nossa soma estará nesse intervalo!
Para uma melhor aproximação ainda, a soma pdoe ser dada pela média dos extremos! Mas relaxa, vou fazer passo a passo contigo!
Passo 2
Para considerarmos uma melhor aproximação, precisamos relembrar a tal equação (3) que o enunciado diz:
Ou seja, para o nosso caso, temos que :
Beleza?
Passo 3
Agora vamos resolver as integrações impróprias! Fazendo nosso limite trocar para , com temos
E resolvendo e aplicando nos limites
Substituindo os valores
Temos nosso intervalo
Passo 4
Agora, como sabemos que o valor da soma está entre os dois extremos que calculamos, vamos usar como uma melhor aproximação a média desses extremos, ou seja,