Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 53
Expresse o número como uma razão de inteiros.
Passo 1
E aí galera, tudo bem?
Vamos desvendar esse mistério! Primeiro, queremos expressar como uma série infinita. Aqui está a sacada: essa dízima periódica é como uma sequência sem fim de depois da vírgula. Então, podemos representá-la assim:
Aqui vale ressaltar que estamos dividindo a parte periódica por potências de , e que a proporção em que o denominador aumenta depende da quantidade de algarismos do período, tudo bem? Nosso primeiro termo é e a razão é .
Escrevendo a série geométrica que representa o número em questão teremos:
Passo 2
Agora, para resolver essa bagunça infinita, usamos uma fórmula esperta. Ela diz que a soma infinita de uma série geométrica , onde é o primeiro termo e é a razão:
No nosso caso , assim como já foi discutido acima e . Substituindo, teremos:
No entanto, esse não é o nosso resultado porque falta a parte inteira que é . Sendo assim, nosso resultado final será:
Essa é a fração bacana que representa nosso número!