Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 59
Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .
59.
Passo 1
E aí, gente! Tudo show?
A questão pede pra achar o valor de para a série convergir e depois fazermos a soma dela.
Vamos tentar sempre simplificar o máximo pra ficar mais fácil de visualizar.
Então, colocando em evidência poderemos escrever a série em questão da seguinte forma:
Opa! Esse formato é característico de uma série geométrica! Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:
No nosso caso, temos que (quando substituímos na série) e , uma vez que é o primeiro termo da sequência e é a relação comum.
Relembrando que, pra séries geométricas:
- Se , a série é divergente
- Se , a série é convergente.
Então vamos usar , pra encontrar os valores de .
Passo 2
Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de .
Como queremos os valores de para os quais a série converge, então teremos:
Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:
Colocando esse tanto para a inequação da esquerda quanto para a direita, ficaremos com:
E esse intervalo representa os valores de para os quais a série é convergente!
Passo 3
Por fim, vamos relembrar de algo importante! A soma de uma série geométrica será definida pela fórmula a seguir:
Substituindo e :
Fazendo o M.M.C. no denominador:
Divisão entre frações: repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração.