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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 10.3 - Ex. 62

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = 1 - 2 cos ⁡ θ ,   θ = π / 3

Passo 1

A inclinação da reta tangente à uma função é dada pelo valor de sua primeira derivada, mas para equações polares não basta derivar a função r em relação a θ , precisamos calcular o nosso amado y ' ( x ) , para isso basta que usemos a fórmula:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Passo 2

Apesar de não ser só calcular d r d θ , vamos ter que calcular ele mesmo assim, hehe

r = 1 - 2 cos ⁡ θ

Em uma soma, basta derivar cada termo separadamente

d r d θ = 0 - 2 - sen ⁡ θ = 2 sen ⁡ θ

Passo 3

Agora substituímos o nosso d r d θ na equação

d y d x = ( 2 sen ⁡ θ ) sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ ( 2 sen ⁡ θ ) cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Substituindo também r = 1 - 2 cos ⁡ θ

d y d x = ( 2 sen ⁡ θ ) sen ⁡ θ + ( 1 - 2 cos ⁡ θ ) cos ⁡ θ ( 2 sen ⁡ θ ) cos ⁡ θ - ( 1 - 2 cos ⁡ θ ) sen ⁡ θ

Fazendo as distributivas

d y d x = 2 sen 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 cos 2 ⁡ θ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Podemos ainda usar as relações trigonométricas sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ e cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ , sendo que para a segunda basta colocar o - 2   em evidencia no numerador da fração

d y d x = - 2 cos ⁡ 2 θ + cos ⁡ θ sen ⁡ 2 θ - sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ = - 2 cos ⁡ 2 θ + cos ⁡ θ 2 sen ⁡ 2 θ - sen ⁡ θ

Por fim vamos substituir o ponto que o enunciado manda θ = π 3

d y d x = - 2 cos ⁡ 2 π 3 + cos ⁡ π 3 2 sen ⁡ 2 π 3 - sen ⁡ π 3 = - 2 - 1 2 + 1 2 2 3 2 - 3 2

Somando

d y d x = 2 ⋅ 1 2 + 1 2 2 3 2 - 3 2 = 3 2 3 2

Fazendo agora a divisão de frações

d y d x = 3 2 ⋅ 2 3 = 3 3

Multiplicando por 3 em cima e em baixo

d y d x = 3 3 ⋅ 3 3 = 3 3 3 = 3

Resposta

d y d x = 3

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