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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.6 - Ex. 26

Um meteorito está a a km do centro da Terra e cai sobre a sua superfície. A força da gravidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância de um corpo ao centro da Tera. Ache o trabalho realizado pela gravidade se a massa do meteorito for w kg. Seja R km o raio da terra e g m/s² a aceleração da gravidade.

Passo 1

Sabemos que o trabalho infinitesimal d W realizado por uma força f em um corpo que se move uma distância d x em um eixo x é dada por d W = f x d x . Sendo o eixo x onde se movimenta o meteorito, com origem no centro da terra, devemos então obter a expressão da força da gravidade que atua no corpo e integrar de R até a .

Passo 2

Se a força da gravidade é proporcional à distância ao centro da terra, temos para o meteorito de massa w a força f x = w ⋅ k x 2   , sendo k uma constante de proporcionalidade. Mas sabemos que na superfície, quando x = R e a aceleração da gravidade é g , a força é f R = w g . Então:

f R = w ⋅ k R 2 = w g ⇒ k = g R 2 ⇒ f x = w g R 2 x 2

Temos agora então a expressão da força da gravidade em função da distância à Terra.

Passo 3

Agora podemos integrar de R a a para obter W :

W = ∫ R a w g R 2 x 2 d x = w g R 2 ∫ R a 1 x 2 d x = w g R 2 - 1 x R a = w g R 2 1 R - 1 a

Resposta

W = w g R 2 1 R - 1 a

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