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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 2

2) Uma partícula de massa m   =   2   desloca-se sobre o eixo O x sob a ação da força resultante   F → x =   - 3 x   i → . Sabe-se que x 0 = 1   e   v 0 = 0 .

  1. Verifique que, para todo t ≥ 0 ,

    2. 3 x 2 2 + v 2 = 3 2

    Onde x = x t   e   v = v ( t )

  2. Calcule o módulo da velocidade da partícula quando esta se encontra na posição x = 0
  3. Qual o máximo valor de x ? Qual o mínimo valor de x ?
  4. Como você acha que deve ser o movimento descrito pela partícula?

Passo 1

  1. Lá da física, a gente sabe o seguinte:

    F → =   m a →

    Trabalhando na direção   i → :

    m a =   - 3 x →   2 ⋅ a =   - 3 x → a =   - 3 x 2       ( i )

    Lá da cinemática, temos o seguinte:

    v = d x d t e a = d v d t

    Isolando o d t :

    d t = d x v e d t = d v a

    Igualando, temos:

    a   d x   = v   d v   ( i i )

    Juntando as relações i   e   i i :

    - 3 2 x     d x = v   d v

    Agora vamos integrar!!

    ∫ x ( 0 ) x ( t ) - 3 2 x d x = ∫ v ( 0 ) v ( t ) v   d v

    Vamos escolher o limite de integração inferior como t = 0, pois temos informações sobre ele!!

    Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c     quando   n   ≠ - 1  

    - 3 2 x 2 2 - x 0 2 2 =   v 2 2 - v 0 2 2 →   - 3 2 x 2 2 - 1 2 =   v 2 2

    Só mais um pouco de conta!

    - 3 x 2 4 + 3 4 = v 2 2 →   3 4 = v 2 2 + 3 x 2 4

    v 2 + 3 x 2 2 = 3 2  

    Ufa, então a relação o item (a) é realmente verdadeira!

    Passo 2

  2. Nessa é basicamente usar a relação que provamos no item anterior:

    3. Quando x   =   0 :

    v 2 + 3 ⋅ 0 2 2 = 3 2 → v 2 = 3 2

    Logo, v   =   3 2

  3. Sabemos o seguinte:

    4. v 2 + 3 x 2 2 = 3 2

    Isolando v :

    v 2 = 3 2 - 3 2 x 2 = 3 2 ( 1 - x 2 )

    v 2 ≥ 0 → 3 2 1 - x 2 ≥ 0   resolvendo a inequação, temos:   - 1 ≤ x ≤ 1

    Logo os valor mínimo de x é -1 e o valor máximo de x é 1.

    Passo 3

  4. Como nosso movimento está restrito ao eixo x, podemos concluir que o corpo ficará oscilando entre os pontos -1 e 1 do eixo x.

Resposta

b) v   =   3 2

c) Valor mínimo de x é -1 e o valor máximo de x é 1.

d) Oscilação entre os pontos -1 e 1.

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