Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.6 - Ex. 19
Um balde com 20 kg contém 60 kg de areia e é pendurado no extremo de uma corrente com 100 m e com 10 kg que está dependurada à beira de um poço profundo. Se a areia está vazando a uma taxa constante e se no momento em que o balde chega à beira do poço toda a areia vazou dele, ache o trabalho realizado ao levantar o balde até a beira do poço.
Passo 1
Sabemos que o trabalho realizado para levantar um objeto de uma altura é dado por , sendo a massa do objeto e o valor da aceleração da gravidade. Colocando o eixo com origem na beira do poço e apontando para baixo, o balde inicialmente está em . Devemos então obter .
Passo 2
A massa total a ser levantada é a massa do balde, mais a areia mais a corrente. A massa do balde é fixa e igual a 20 kg.
A massa da corrente dependerá do quanto já levantamos. Se o balde estiver na altura , o restante da corrente que ainda não foi levantado terá um comprimento m, e sua massa então será .
A quantidade de areia incial é 60 kg e após o deslocamento de 100 m a quantidade é zerada, então podemos calcular a taxa à qual a areia cai, que é . Quando o balde estiver na altura , o balde terá se deslocado m, e então a massa da areia perdida será kg. A massa de areia é então .
Temos então a massa a ser levantada quando estamos na altura :
Passo 3
Agora podemos integrar para obter :
Se g = 9,81 m/s², então