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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 14

Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

y '   =   x y 3   ( 1   +   x 2 ) - 1 / 2 ,   y ( 0 )   = 1

Passo 1

  1. A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado. Antes, vamos substituir o y’ por d y d x .

Assim, temos:

d y d x = x y 3   ( 1   +   x 2 ) - 1 / 2

d y y 3 =   x ( 1   +   x 2 ) - 1 / 2 d x

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ d y y 3 =   ∫ x ( 1   +   x 2 ) - 1 / 2 d x

- 1 2 y 2 + c =   x 2 + 1 +   c '  

- 1 2 y 2 + c =   x 2 + 1 +   c '  

- 1 2 y 2 =   x 2 + 1 +   C  

y = 1 - 2 (   x 2 + 1   +   C   )

No enunciado há uma informação de que   y ( 0 )   = 1 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

y = 1 - 2 (   x 2 + 1   +   C   )

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

1 = 1 - 2 (   0 2 + 1   +   C     )

C   = - 3 2

Assim, a equação é:

y = 1 + 3 -   2   x 2 + 1  

Passo 2

b)

Passo 3

  1. Temos como equação final da EDO o seguinte:

y = 1 3 -   2   x 2 + 1  

Assim, temos:

Para saber o intervalo, precisamos garantir que o denominador da equação seja diferente de zero.

Assim, temos que:

3 -   2   x 2 + 1 ≠   0   →   x   ≠   ±   5 / 2 ou x   ≠   5 / 2 .

Assim, o intervalo em que a solução está definida é com:

x < 5 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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