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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 70

O modelo de crescimento logístico dado na Fórmula (1) é equivalente a:

y e k t + A y = L e k t

Em que y é a população no instante t t ≥ 0 e A , k e L são constantes positivas. Use a derivação implícita para estabelecer que:

d y d t = k L y L - y

d 2 y d t 2 = k 2 L 2 y ( L - y ) ( L - 2 y )

Passo 1

Então galera, essa questão aqui é puramente matemática, ok? O que devemos fazer é derivar implicitamente duas vezes, a fim de encontrar essa derivada de segunda ordem dada pelo enunciado, então bora lá! Temos que:

y e k t + A y = L e k t

y e k t + A = L e k t

Derivando implicitamente em relação a t , teremos:

d y d t . e k t + A + y . k . e k t = k L e k t

Isolando d y d t teremos:

d y d y = k L e k t - y k e k t e k t + A

d y d t = k e k t L - y L e k t y

∴ d y d t = k L y . L - y

Beleza, primeira derivada encontrada com sucesso!

Passo 2

Agora o que devemos fazer é derivar implicitamente uma segunda vez, então bora lá:

d 2 y d t 2 = k L . d y d t . L - y - y . d y d t

d 2 y d t 2 = k L L - 2 y . d y d t

d 2 y d t 2 = k L L - 2 y . k L y L - y

∴ d 2 y d t 2 = k 2 L 2 y . L - y . L - 2 y

Como queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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