Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 1c
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).
Passo 1
Oi, pessoal! Tudo bom? Nessa questão primeiro vamos ter que achar e depois analisar seu sinal.
Vamos começar derivando a nossa função aplicando a regra do polinômio.
Vamos então aplicar:
Podemos ajeitar essa derivada e escrever assim,
Agora vamos analisar o sinal!
Passo 2
Repara que o denominador vai ser sempre positivo (pois é um termo ao quadrado), vamos então analisar o numerador igualando ele a zero:
Vamos analisar o sinal das duas expressões:
Para temos:
A expressão assume valores negativos quando e assume valores positivos quando .
Para temos:
Aqui a expressão assume valores negativos quando e assume valores positivos quando .
Passo 3
Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:
Temos que em:
e
Ou seja, é estritamente crescente em e
E em vamos ter um ponto de descontinuidade em , assim:
e
Ou seja, é estritamente decrescente em e
Passo 4
Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de para e :
Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:
Resposta
é estritamente crescente em e
é estritamente decrescente em e
