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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 1o

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

f x = 3 x 2 + 4 x 1 + x 2

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar f ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Vamos então aplicar:

f ' x = 3 x 2 + 4 x 1 + x 2 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = 3 x 2 + 4 x ' 1 + x 2 - 3 x 2 + 4 x 1 + x 2 ' 1 + x 2 2 = 2 ⋅ 3 x 2 - 1 + 4 x 1 - 1 1 + x 2 - 3 x 2 + 4 x 0 + 2 x 2 - 1 1 + x 2 2 = 6 x + 4 x 0 1 + x 2 - 3 x 2 + 4 x 2 x 1 + x 2 2 = 6 x + 4 ⋅ 1 1 + x 2 - 6 x 3 - 8 x 2 1 + x 2 2 = 6 x + 6 x 3 + 4 + 4 x 2 - 6 x 3 - 8 x 2 1 + x 2 2 = 6 x + 4 - 4 x 2 1 + x 2 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x , o denominador vai ser sempre positivo, vamos então analisar o numerador igualando-o a zero:

6 x + 4 - 4 x 2 = 0 → - 4 x - 2 x + 1 2 = 0

Vamos analisar o sinal das duas expressões:

Para - 4 ( x - 2 ) temos:

A expressão assume valores negativos quando x > 2 e assume valores positivos quando x < 2 .

Para x + 1 2 :

A expressão assume valores negativos quando x < - 1 2 e assume valores positivos quando x > - 1 2 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as imagens que achamos no passo anterior:

Temos que f ' x > 0 em:

- 1 2 , 2

E em f ' x < 0 :

- ∞ , - 1 2 e 2 , + ∞

Assim:

f é estritamente crescente em - 1 2 , 2

f é estritamente decrescente em - ∞ , - 1 2 e 2 , + ∞

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 + 4 x 1 + x 2 = 3

lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 + 4 x 1 + x 2 = 3

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em - 1 2 , 2

f é estritamente decrescente em - ∞ , - 1 2 e 2 , + ∞

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Mostre que e x ≥ 1 + x para x ≥ 0 .Deduza que e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2 para x ≥ 0 .Use a indução matemática para demonstrar que para x ≥ 0 e qualquer inteiro positivo n , e x ≥ 1 + x + x 2 2 ! +· · · + x
Suponha que a derivada da função seja f ' x = x - 1 2 x - 3 5 x - 6 4 . Em qual intervalo f está crescendo?
Seja f x = x + e x e seja g a inversa de f . Mostre que g é derivável e que g ' x = 1 1 + e g x .(Sugestão: Veja Exercício 13 - 8.1 )
Verifique que. d d x x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 = x 2 arcsen ⁡ x
Verifique que. d d x - 1 2 arcsen ⁡ 2 - x x 2 = 1 x x 2 + 4 x - 4