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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 71

Supondo que A ,   k e L sejam constantes positivas, verifique que o gráfico de y = L 1 + A e - k t tem um ponto de inflexão em 1 k ln ⁡ A , 1 2 L .

Passo 1

Então galera, o que devemos fazer aqui é encontrar uma equação diferencial de segunda ordem para analisar esse ponto de inflexão, beleza? Sendo assim, primeiramente temos que encontrar essa derivada, então bora lá! Temos que:

y e k t + A y = L e k t

y e k t + A = L e k t

Derivando implicitamente em relação a t , teremos:

d y d t . e k t + A + y . k . e k t = k L e k t

Isolando d y d t teremos:

d y d y = k L e k t - y k e k t e k t + A

d y d t = k e k t L - y L e k t y

∴ d y d t = k L y . L - y

Beleza, primeira derivada encontrada com sucesso!

Passo 2

Agora o que devemos fazer é derivar implicitamente uma segunda vez, então bora lá:

d 2 y d t 2 = k L . d y d t . L - y - y . d y d t

d 2 y d t 2 = k L L - 2 y . d y d t

d 2 y d t 2 = k L L - 2 y . k L y L - y

∴ d 2 y d t 2 = k 2 L 2 y . L - y . L - 2 y

Ok, derivada de segunda ordem encontrada, agora vamos para a análise!

Passo 3

Galera, sabemos que k > 0 ,   y > 0 , logo L - y > 0 também. Tendo isso em vista:

d 2 y d t 2 > 0   s e   L - 2 y > 0

d 2 y d t 2 < 0   s e   L - 2 y < 0

Sendo assim, y t é côncavo para cima em y < L 2 e côncavo para baixo em y > L 2 . Logo o ponto de inflexão se encontra em y = L 2 , como o enunciado indica! Sabendo disso, temos:

L 2 = L 1 + A e - k t

∴ t = 1 k . ln ⁡ A

Portanto o ponto de inflexão se encontra em: 1 k ln ⁡ A , 1 2 L , como queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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