Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 71

Supondo que A ,   k e L sejam constantes positivas, verifique que o gráfico de y = L 1 + A e - k t tem um ponto de inflexão em 1 k ln ⁡ A , 1 2 L .

Passo 1

Então galera, o que devemos fazer aqui é encontrar uma equação diferencial de segunda ordem para analisar esse ponto de inflexão, beleza? Sendo assim, primeiramente temos que encontrar essa derivada, então bora lá! Temos que:

y e k t + A y = L e k t

y e k t + A = L e k t

Derivando implicitamente em relação a t , teremos:

d y d t . e k t + A + y . k . e k t = k L e k t

Isolando d y d t teremos:

d y d y = k L e k t - y k e k t e k t + A

d y d t = k e k t L - y L e k t y

∴ d y d t = k L y . L - y

Beleza, primeira derivada encontrada com sucesso!

Passo 2

Agora o que devemos fazer é derivar implicitamente uma segunda vez, então bora lá:

d 2 y d t 2 = k L . d y d t . L - y - y . d y d t

d 2 y d t 2 = k L L - 2 y . d y d t

d 2 y d t 2 = k L L - 2 y . k L y L - y

∴ d 2 y d t 2 = k 2 L 2 y . L - y . L - 2 y

Ok, derivada de segunda ordem encontrada, agora vamos para a análise!

Passo 3

Galera, sabemos que k > 0 ,   y > 0 , logo L - y > 0 também. Tendo isso em vista:

d 2 y d t 2 > 0   s e   L - 2 y > 0

d 2 y d t 2 < 0   s e   L - 2 y < 0

Sendo assim, y t é côncavo para cima em y < L 2 e côncavo para baixo em y > L 2 . Logo o ponto de inflexão se encontra em y = L 2 , como o enunciado indica! Sabendo disso, temos:

L 2 = L 1 + A e - k t

∴ t = 1 k . ln ⁡ A

Portanto o ponto de inflexão se encontra em: 1 k ln ⁡ A , 1 2 L , como queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Use um gráfico de f para estimar aproximadamente os intervalos da concavidade e as coordenadas dos pontos de inflexão.(b) Use um gráfico de f ' ' para uma estimativa melhor. f x = x 3 x - 2 4
(a) Use um gráfico de f para estimar aproximadamente os intervalos da concavidade e as coordenadas dos pontos de inflexão.(b) Use um gráfico de f ' ' para uma estimativa melhor. f x = cos ⁡ x + 1 2 co
Uma curva de resposta à droga descreve o nível de medicamento na corrente sanguínea depois de uma droga ser administrada. Uma função onda S t = A t P e - k t é usada frequentemente para modelar a curv
É dado o seguinte gráfico de uma população de células de levedo em uma nova cultura de laboratório em função do tempo.(a) Descreva como varia a taxa de crescimento populacional.(b) Quanto a taxa é mai
64) A caneca mostrada na figura está sendo enchida com café a uma taxa constante (medida em volume por unidade de tempo). Esboce um gráfico da profundidade do café na caneca como uma função do tempo.