Considere um sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial

Determine a parte estado estacionário da solução deste problema.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos o seguinte:

u c ' ' + 1 4 u c ' + 2 u c = 0

u c = e r t

u c ' = r e r t

u c ' ' = r ² e r t

4 r 2 + r + 8 = 0

r = - 1 8 ± i μ

u p ' ' + 1 4 u p ' + 2 u p = 2 cos ⁡ ω t

- B ω 2 + D ω 4 + 2 B = 2

- D ω 2 - B ω 4 + 2 D = 0

B = 32 2 - ω 2 16 ω 4 - 63 ω 2 + 64

D = 8 ω 16 ω 4 - 63 ω 2 + 64

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

u t = B cos ⁡ ω t + D sin ⁡ ω t

Resposta

u t = B cos ⁡ ω t + D sin ⁡ ω t

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