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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.8 - Ex. 9

Se um sistema mola-massa não amortecido, com uma massa pesando 6 lb (≈ 2,7 kg) e uma constante da mola de 1 lb/in, for colocado em movimento de repente, no instante t = 0, por uma força externa de 4 cos 7t lb, determine a posição da massa em qualquer instante e desenhe o gráfico de seu deslocamento em função de t.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos o seguinte:

W = k   Δ x

Δ x = 1 2

x 0 = 1 2

x ' 0 = 0

∑ F x = m a x

m x ' ' + k x = W + 4 cos ⁡ 7 t

m x c ' ' + k x c = 0

A amplitude do sistema é dada por:

x c = e r t

x c ' = r e r t

x c ' ' = r ² e r t

m r 2 e r t + k e r t = 0

m r ² + k = 0

r = ±   i k m  

m x p ' ' + k x p = W + 4 cos ⁡ 7 t

k A = W     ∴       A = W k

k B - 49 m B = 4     ∴       B   = 4 k - 49 m

x t = C 3 cos ⁡ k m t + C 4 sin ⁡ k m t + W k + 4 k - 49 m cos ⁡ 7 t  

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

x t = C 3 cos ⁡ k m t + C 4 sin ⁡ k m t + W k + 4 k - 49 m cos ⁡ 7 t  

x ' t = - C 3 k m s in ⁡ k m t + C 4 k m cos ⁡ k m t - 28 k - 49 m sin ⁡ 7 t  

x 0 = C 3 + W k + 4 k - 49 m = 1 2

x ' 0 = C 4 k m = 0

C 3 = - 4 k - 49 m       ∴       C 4 = 0

d = x t - Δ x

d =   4 k - 49 m   cos ⁡ 7 t - cos ⁡ k m t

Resposta

d =   4 k - 49 m   cos ⁡ 7 t - cos ⁡ k m t

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