Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 1
A taxa de crescimento natural da população de certa cidade é proporcional à população. Se a população aumenta de 40.000 para 60.000 em 40 anos, quando a população será de 80.000?
Passo 1
Sendo a população da cidade, a taxa de crescimento de é proporcional a . Temos então a equação diferencial:
Onde é uma constante de proporcionalidade. Devemos então resolver a equação diferencial para e , sendo o tempo decorrido desde quando a população era de 40.000.
Passo 2
Separando as variáveis, temos:
Integrando os dois lados:
Sendo uma constante. Transformamos então a equação usando a relação :
Sendo uma constante.
Passo 3
Para completar nossa equação, precisamos achar os valores de e . De , temos:
Agora, de , obtemos:
Aplicando dos dois lados:
Passo 4
Agora temos a função completa:
Para :