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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 1

A taxa de crescimento natural da população de certa cidade é proporcional à população. Se a população aumenta de 40.000 para 60.000 em 40 anos, quando a população será de 80.000?

Passo 1

Sendo y a população da cidade, a taxa de crescimento de y é proporcional a y . Temos então a equação diferencial:

d y d t = k y

Onde k é uma constante de proporcionalidade. Devemos então resolver a equação diferencial para y 0 = 40000 e y 40 = 60000 , sendo t o tempo decorrido desde quando a população era de 40.000.

Passo 2

Separando as variáveis, temos:

d y y = k d t

Integrando os dois lados:

∫ d y y = ∫ k d t ⇒ ln ⁡ | y | = k t + C

Sendo C uma constante. Transformamos então a equação usando a relação ln ⁡ a = b ⇒ a = e b :

y = e k t + C ⇒ y = A e k t

Sendo A = ± e C uma constante.

Passo 3

Para completar nossa equação, precisamos achar os valores de A e k . De y 0 = 40000 , temos:

A e 0 = 40000 ⇒ A = 40000 ⇒ y = 40000 e k t

Agora, de y 40 = 60000 , obtemos:

40000 e 40 k = 60000 ⇒ e 40 k = 60000 40000 = 1,5

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e 40 k = ln ⁡ 1,5 = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2 ⇒ 40 k = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2 ⇒ k = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2 40 ≈ 0,01014

Passo 4

Agora temos a função completa:

y t = 40000 e 0,01014 t

Para y = 80000 :

40000 e 0,01014 t = 80000 ⇒ e 0,01014 t = 2 ⇒ 0,01014 t = ln ⁡ 2 = 0,69315

⇒ t = 0,69315 0,01014 = 68,368   a n o s

Resposta

A   p o p u l a ç ã o   s e r á   d e   80.000   e m   68   a n o s

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