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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 6

Suponha que o valor de certa coleção de antiguidades aumente com a idade e a taxa de valorização em qualquer momento seja proporcional a seu valor naquele momento. Se o valor da coleção há 10 anos era de $ 25.000 e se o valor atual é $ 35.000, em quantos anos espera-se que o valor seja de $ 50.000?

Passo 1

Sendo y a o valor da coleção, a taxa de crescimento de y é proporcional a y . Temos então a equação diferencial:

d y d t = k y

Onde k é uma constante de proporcionalidade. Devemos então resolver a equação diferencial para y 0 = 25000 e y 10 = 35000 , sendo t o número de anos decorridos desde que o valor era de $ 25.000.

Passo 2

Separando as variáveis, temos:

d y y = k d t

Integrando os dois lados:

∫ d y y = ∫ k d t ⇒ ln ⁡ | y | = k t + C

Sendo C uma constante. Transformamos então a equação usando a relação ln ⁡ a = b ⇒ a = e b :

y = e k t + C ⇒ y = A e k t

Sendo A = ± e C uma constante.

Passo 3

Para completar nossa equação, precisamos achar os valores de A e k . De y 0 = 25000 , temos:

A e 0 = 25000 ⇒ A = 25000 ⇒ y = 25000 e k t

Agora, de y 10 = 35000 , obtemos:

25000 e 10 k = 35000 ⇒ e 10 k = 35000 25000 = 1,4

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e 10 k = ln ⁡ 1,4 ⇒ 10 k = ln ⁡ 1,4 ⇒ k = ln ⁡ 1,4 10 ≈ 0,03365

Passo 4

Agora temos a função completa:

y t = 25000 e 0,03365 t

Queremos o tempo t no qual teremos y ( t ) = 50000 :

50000 = 25000 e 0,03365 t ⇒ e 0,03365 t = 50000 25000 = 2 ⇒ ln ⁡ e 0,03365 t = ln ⁡ 2

0,03365 t = ln ⁡ 2 ⇒ t = 0,69315 0,03365 ≈ 20,6   a n o s

Mas o tempo t = 0 foi considerado como 10 anos atrás, então faltam 20,6 - 10 = 10,6 anos para a coleção atimgir o calor de $ 50.000.

Resposta

10,6   a n o s .

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