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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.2 - Ex. 2

É mostrado um campo de direções para a equação diferencial y ' = x s e n y .

  1. Esboce os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas.

    1. y 0 = 1
    2. y 0 = 2
    3. y 0 = π
    4. y 0 = 4
    5. y 0 = 5

  2. Ache todas as soluções de equilíbrio.

Passo 1

  1. (i) Nessa questão, queremos desenhar o gráfico de uma solução que pertença acampo de direções para a equação y ' = x s e n y e satisfaça y 0 = 1 , que é exatamente aqui!

    2. Bom, como já temos o campo direcional, basta traçar um gráfico que siga a orientação das linhas de campo e obedeça y 0 = 1 , dessa forma:

    Passo 2

  2. (ii) Da mesma forma que no item (a), precisamos desenhar o gráfico de uma solução que pertença ao campo de direções para a equação y ' = x s e n y e satisfaça y 0 = 2 . Assim,

Passo 2

Bom, ao olharmos para esses itens percebemos que o procedimento é sempre o mesmo dos itens anteriores, então já vamos desenhar os 5 gráficos em uma imagem só para vermos todas juntas:

Passo 3

  1. Queremos encontrar todas as soluções de equilíbrio, ou seja, quando y ' = 0 .

Como y ' = x s e n y

Precisamos que

x s e n y = 0

E isso acontece quando

x = 0

Ou

s e n y = 0

Seno é igual a zero em dois pontos!!

y = 0   o u   y = π

Então essas são as soluções de equilíbrio.

x = 0   o u   y = 0   o u   y = π

Resposta

x = 0   o u   y = 0   o u   y = π

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