Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 88
Demonstre o Teorema .
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo joia?
Galera, o Teorema nos diz que se e se a função for contínua em , então
Então, basicamente, o teorema diz que, se uma sequência se aproxima de um número e você tem uma função que não tem saltos nesse número, então a aplicação dessa função aos termos da sequência se comportará como se você aplicasse a função ao próprio número que a sequência está se aproximando.
Passo 2
Dado que =𝐿, isso significa que para qualquer , existe um número natural tal que para todo , os termos da sequência estão dentro da vizinhança de , isto é, .
Agora, queremos demonstrar que :
Dado que é contínua em , temos que para qualquer , existe tal que se , então .
Vamos aplicar isso aos termos da sequência :
Como =𝐿, temos que para suficientemente grande, , onde é o valor associado a pela continuidade de em .
Então, para suficientemente grande, temos , o que implica que li.
Portanto, demonstramos que se =𝐿 e é contínua em , então .
Acabou a demonstração, pessoal!
Resposta
Teorema 7 demonstrado no passo 2.