Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 22
Mostre que qualquer campo vetorial da forma
é incompressível.
Passo 1
Olá, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer!
Ela pede para mostrar que qualquer campo vetorial que seja desse jeito
É incompressível.
Calma lá! Como saber se o campo vetorial é incompressível?
A condição para um campo vetorial ser incompressível é que o divergente desse campo deve ser zero
E como recordar é viver, aqui vai como se calcula o divergente de algum vetor. Fazemos o produto escalar do operador com o vetor que se quer:
Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!
Basicamente, só precisamos calcular o divergente do campo dado e ver se as derivadas se anulam.
Sendo assim, vamos demostrar!
Passo 2
Vamos aplicar o divergente no campo
Assim, temos que
Aplicando o produto escalar
A derivada parcial conta como constante qualquer outra variável que não seja àquela a quem ela se refere. Portanto,
Então, o divergente desse campo é:
E assim esse campo é incompressível.
Beleza? Vamos pra próxima?
Resposta
A resposta é a demonstração que está feita ao longo dos passos.