Mostre que qualquer campo vetorial da forma

F → x , y , z = f y , z i → + g x , z j → + h x , y k →

é incompressível.

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer!

Ela pede para mostrar que qualquer campo vetorial que seja desse jeito

F → x , y , z = f y , z i → + g x , z j → + h x , y k →

É incompressível.

Calma lá! Como saber se o campo vetorial é incompressível?

A condição para um campo vetorial ser incompressível é que o divergente desse campo deve ser zero

∇ ⋅ F → = 0

E como recordar é viver, aqui vai como se calcula o divergente de algum vetor. Fazemos o produto escalar do operador ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) com o vetor ( F x , F y , F z ) que se quer:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ ( F x , F y , F z )

Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Basicamente, só precisamos calcular o divergente do campo dado e ver se as derivadas se anulam.

Sendo assim, vamos demostrar!

Passo 2

Vamos aplicar o divergente no campo

F → x , y , z = f y , z i → + g x , z j → + h x , y k →

Assim, temos que

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ f y , z , g x , z , h x , y

Aplicando o produto escalar

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x f y , z + ∂ ∂ y g x , z + ∂ ∂ z h x , y

A derivada parcial conta como constante qualquer outra variável que não seja àquela a quem ela se refere. Portanto,

∂ ∂ x f y , z = 0

∂ ∂ y g x , z = 0

∂ ∂ z h x , y = 0

Então, o divergente desse campo é:

∇ ⋅ F → = 0 + 0 + 0

∇ ⋅ F → = 0

E assim esse campo é incompressível.

Beleza? Vamos pra próxima?

Resposta

A resposta é a demonstração que está feita ao longo dos passos.

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