Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 46
Mostre que .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a derivada de é igual a .
Pra verificar essa igualdade, vamos precisar calcular a derivada da primeira função. Observe que essa é uma função composta, que contém uma raiz e funções hiperbólicas dentro dela. E quando temos uma função composta, já sabemos que precisamos usar a regra da Cadeia na derivação:
Que é a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.
Mas antes de partir pra derivada, vamos relembrar que a derivada da tangente hiperbólica é dada por:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando a nossa função da esquerda, usando a regra da Cadeia:
Agora calculando a derivada da função de dentro (), usando a regra do quociente, temos:
Aplicando a propriedade distributiva nos produtos:
Colocando em evidência no último termo:
Simplificando:
Usando a identidade hiperbólica :
Expandindo os produtos notáveis, temos:
Simplificando dentro dos parênteses:
E simplificando as frações do lado de fora e os expoentes (já que agora temos a mesma base), ficamos com:
Passo 3
Mas, por definição, . Então, teremos:
Além disso, e . E nossa expressão fica:
Tirando o MMC:
Simplificando:
Logo,
Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉