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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 16a

Prove:

(a) D_x (s e c h x) = - sech x . t g h x

Passo 1

Primeiro, temos que lembrar as funções:

t g h x = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))

s e c h x = (2)/(e^x + e^(- x))

Então:

D_x (s e c h x) = D_x ((2)/(e^x + e^(- x)))

D_x ((2)/(e^x + e^(- x))) = ((e^x + e^(- x)) . D_x (2) - 2 . D_x (e^x + e^(- x)))/(( e^x + e^(- x) ) ²)

Lembrando que a derivada da constante é 0:

D_x ((2)/(e^x + e^(- x))) = (- 2 . D_x (e^x + e^(- x)))/(( e^x + e^(- x) ) ²)

Resolvendo as derivadas separadamente:

D_x (e^x) = e^x

D_x (e^(- x)) = - e^(- x)

Substituindo:

D_x ((2)/(e^x + e^(- x))) = (- 2 . ( e^x - e^(- x) ))/(( e^x + e^(- x) ) ²)

D_x ((2)/(e^x + e^(- x))) = - (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x)) . (2)/(e^x + e^(- x)) .

Concluindo:

D_x (s e c h x) = - sech x . t g h x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre a derivada. f x = tanh ⁡ x