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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 11

Prove: (senh x + cosh x)^n = cosh n x + s e n h n x , se n for inteiro positivo.

Passo 1

Para provar a identidade precisamos lembrar que:

senh x + cosh x = e^x

s e n h 2 x = 2 senh x . cosh x

cosh 2 x = senh ² x + cosh ² x

Analisando para n=2:

(senh x + cosh x)^2 = senh ² x + 2 senh x . cosh x + cosh ² x

(senh x + cosh x)^2 = s e n h 2 x + cosh 2 x = e^(2 x) = e^x . e^x

Para n=3:

(senh x + cosh x)^3 = e^x . e^x . e^x = e^(3 x) = s e n h 3 x + cosh 3 x

Generalizando para qualquer n:

(senh x + cosh x)^n = e^(n x)

e^(n x) = senh n x + cosh n x

Concluindo:

(senh x + cosh x)^n = cosh n x + s e n h n x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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