Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 32
Seja a área da superfície gerada quando a curva gira em torno do eixo . Explique como pode ser aproximada por
Usando resultados do Cálculo avançado, pode ser mostrado que, quando , essa soma converge a
Passo 1
Cara, a ideia aqui é seguir o mesmo raciocínio da teoria, para chegar nessas fórmulas. A única diferença é que agora e são funções de um parâmetro .
Vamos começar dividindo o intervalo em subintervalos entre os pontos:
Dentro desses intervalos menores, vamos considerar a nossa função como uma reta. Logo, temos um caminho poligonal que aproxima a curva.
Quando essa curva gira em torno de , temos uma superfície compostas por vários troncos de cone. A área da superfície total vai ser a soma das áreas desses troncos.
Passo 2
A área de um tronco é dada pela fórmula:
Para o nosso k-ésimo tronco de cone, os raios das bases vão ser as distâncias dos pontos dos extremos do intervalo até o eixo :
E a altura inclinada é igual ao comprimento da reta que liga os pontos e , ou seja, a distância entre eles:
A área do k-ésimo tronco de cone fica:
Somando para todos os troncos de cone, a área total é aproximadamente:
Passo 3
Para transformar isso numa soma de Riemann vamos usar o Teorema do Valor Intermediário:
Aí podemos reescrever a soma:
Passo 4
Para transformar numa soma de Riemann, precisamos colocar tudo numa variável só. Vamos usar o ponto médio, onde:
Substituindo na soma:
E pelo Cálculo avançado, podemos considerar que as variáveis . Logo, temos apenas uma variável e podemos calcular o limite como uma soma de Riemann:
Resposta
Prova nos passos