Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.6 - Ex. 22

Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e diretriz tem a equação polar

Passo 1

Beleza, pessoal? Primeiro, vamos fazer um esboço do que seria uma cônica com foco na origem, excentricidade e diretriz , beleza?

Agora, como provar que essa cônica tem a seguinte equação?

Passo 2

Galera, vamos lembrar de como definimos uma cônica: a razão entre a distância de um ponto qualquer da cônica ao foco e a distância entre esse ponto e a reta diretriz deve ser igual à excentricidade:

Digamos que o ponto tem coordenadas polares e retangulares .

Como mostra a figura, o foco está na origem, então .

Olhando novamente pra figura, vemos que

Como é positivo:

Passo 3

Agora que já temos e em coordenadas polares, jogamos esses valores na equação:

Show! Essa é a equação à qual queríamos chegar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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